开心算法～～～～

---------- Forwarded message ----------
From: ShiZiDong <szd00045@gmail.com>
Date: 2008/10/8
Subject: 从1到2008080808有多少个还7的整数
To: shiziliang@gmail.com

约瑟夫环问题

　　约瑟夫环（Josephus）问题是由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“ 要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
　　约瑟夫环问题的具体描述是：设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m 的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。

约瑟夫环
是一个数学的应用问题：

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

这个就是约瑟夫环问题的实际场景，有一种是要通过输入n,m,k三个正整数，来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构，就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

解决问题的核心步骤：
1.建立一个具有n个链结点，无头结点的循环链表
2.确定第1个报数人的位置
3.不断地从链表中删除链结点，直到链表为空

void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数，k为第一个开始报数的人，m为出列者喊到的数
{
/* p为当前结点 r为辅助结点，指向p的前驱结点 list为头节点*/
LinkList p,r,list;

/*建立循环链表*/
for(int i=0,i<n,i++)
{
p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
p->data=i;
if(list==NULL)
list=p;
else
r->link=p;
r=p;
}
p>link=list; /*使链表循环起来*/
p=list; /*使p指向头节点*/

/*把当前指针移动到第一个报数的人*/
for(i=0;i<k;i++)
{
r=p；
p=p->link;
}

/*循环地删除队列结点*/
while(p->link!=p)
{
for(i=0;i<m;i++)
{
r=p;
p=p->link;
}
r->link=p->link;
printf("被删除的元素：%4d ",p->data);
free(p);
p=r->link;
}
printf("\n最后被删除的元素是：％4d",P->data);
}

证明：
Josephus(约瑟夫)问题的数学方法(转)约瑟夫 （转）

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个
游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n
，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，
实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n

 

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用
数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执
行效率。

1. #include <stdio.h>  
2. main()  
3. {  
4.    int n, m, i, s=0;  
5.    printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);  
6.    for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;  
7.    printf ("The winner is %d\n", s+1);  
8. }/*运用了一点数学策略 N=8 M=3 幸存为7 ;少于3的时候还可以数,因为为一个环;从他的下一个人起重新报数*/  

当气候越来越温暖时

当雪越下越少时

 

我们该怎么办??